Accès direct au contenu

MATH

Version anglaise

aide

Accueil > Formations > Formation Math ENS Paris-Saclay > Cours de L3 1ere année

Résumé des cours de L3 (S6)

ANALYSE COMPLEXE

  • Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Opérations sur les fonctions holomorphes. Relations de Cauchy-Riemann. Détermination principale du logarithme.
  • Intégrale d'une fonction le long d'un chemin de C. Indice d'un chemin par rapport à un point. Formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes sur un ouvert convexe de C. Homotopie. Formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes sur un ouvert simplement connexe de C.
  • Fonctions analytiques. Théorème de Morera. Théorème de Liouville et de d'Alembert-Gauss. Zéros des fonctions holomorphes. Principes élémentaires de prolongement analytique. Principe du maximum et méthode de Phragmen-Lindelöf. Application à l'interpolation. Topologie de H(C). Séries de fonctions holomorphes
  • Singularité isolée d'une fonction holomorphe. Fonctions méromorphes. Théorème des résidus et applications.
  • Transformations conformes, théorème de Riemann. Application à la mécanique des fluides.
  • Fonctions spéciales et applications : Fonctions gamma et zéta de Riemann et fonction p de Weierstrass.

METHODES D'APPROXIMATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

  • RESUME : Modélisation d'un Tsunami par résolution des équations de Saint-Venant. (F. De Vuyst)
    Les progrès en analyse mathématique des EDP et la formidable puissance des ordinateurs font de la modélisation numérique un outil très puissant tant en Sciences (Physique théorique, Chimie, Mécanique, Biologie, ...) que dans l'Industrie. L'objet de ce cours est à la fois de donner les bases de la théorie de l'approximation des équations aux dérivées partielles et de former à l'utilisation pratique de ces méthodes.

  • PROGRAMME :
  1. Équations hyperboliques en une dimension. Méthode des caractéristiques, Schémas classiques aux différences finies : def, consistance, stabilité, convergence.
  2. Méthode des différences finies pour les équations de Laplace, des ondes et de la chaleur.
  3. Méthodes des éléments finis pour les équations et les systèmes elliptiques. Application à l'équation de Laplace et au système de l'élasticité.
  4. Méthode des volumes finis pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation. Application aux équations d'Euler des fluides parfaits.

TECHNIQUES D'APPROXIMATION DANS LES MATHEMATIQUES DE L'ALEATOIRE

  • MOTIVATIONS :
    Dans de nombreuses applications réelles des modèles aléatoires (modélisation prédictive, analyse de risques), il est essentiel de produire une version numérique des résultats probabilistes : intervalles de confiance, quantiles extrêmes, etc... Or, les formules analytiques explicites font souvent défaut à ce stade des opérations. En effet, deux situations se produisent généralement : les propriétés mathématiques considérées mettent souvent en jeu le modèle initial sous une forme compliquée, ou bien l'incertitude pesant sur la distribution des données conduit à formuler plusieurs hypothèses sur la loi sous-jacente. Pourtant, et malgré l'impossibilité de produire des formules exactes, on attend des mathématiciens de fournir des réponses à ces questions.
    Dans ce cours, les étudiants découvriront un certain nombre de motivations issues de problèmes concrets soulevés lors de l'application des mathématiques de l'aléatoire pour quantifier des phénomènes observés dans les sciences et dans la société. Ils se familiariseront avec des techniques d'approximation utilisées dans les calculs probabilistes qui leur fourniront le langage' pour adresser les problèmes rencontrés en probabilités numériques et en simulation stochastique, ainsi qu'en statistique et en apprentissage.
  • THEMES DU COURS :
    1. Théorie asymptotique : théorèmes et lois limites
    2. Théorie non-asymptotique : inégalités de déviation
    3. Processus empiriques et concentration
    4.  Exemples d'applications : simulation stochastique, calculs de puissance dans les tests,  performance prédictive en apprentissage,...
  • ORGANISATION :
    2h de cours et 3h de TP ou TD par semaine sur 14 semaines. Validation par contrôle continu et examen final.