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Méthodes mathématiques pour les neurosciences

Intervenant : Etienne TANRE, Romain VELTZ  (INRIA)

Objectif du cours :

Nous présentons dans ce cours quelques outils mathématiques qui interviennent de manière systématique dans de nombreux problèmes de modélisation en neurosciences.

Thèmes abordés :

  • Modèles mésoscopiques de certaines structures corticales: structure anatomique du cortex visuel (aire V1), architecture fonctionnelle de V1, modèles de champs neuronaux.
  • Introduction aux systèmes dynamiques: orbites et portraits de phases, variétés invariantes, équivalence de systèmes dynamiques, classification topologique des équilibres, stabilité structurelle, variété centrale en dimension finie.
  • Introduction à la théorie des bifurcations: dimension 1 (noeud-selle, transcritique, fourche), dimension 2 (Hopf), variété centrale, forme normale, bifurcations équivariantes.
  • Applications: sensibilité à l'orientation des contours visuels, formation de structures corticales et hallucinations visuelles.
  • Modèles de neurones: le modèle de Hodgkin-Huxley sans espace, modèles simplifiés, modèles de synapses, modèles spatiaux.
  • Le rôle du bruit: mouvement Brownien, équations différentielles stochastiques, application aux neurones.
  • Modèles de champ moyen: la théorie de Sompolinsky-ben Arous-Guionnet des verres de spin, applications aux modèles de neurones à taux de décharge, la théorie de Mc-Kean-Tanaka-Sznitman de particules en interaction, application aux modèles de neurones à potentiels d'action, application aux masses neurales.

Pré-requis :

Niveau Maths cours de L3, M1

Organisation des séances :

Jussieu (couloir 15/25, salle 103)   : cours de 13h30 à 16h30, TD de 16h45 à 18h45

Mode de validation :

Examen pour la première session, rattrapage sous forme de lecture d'article.

Références :

  • Wulfram Gerstner et W. Kistler, Spiking neuron models, Cambridge University Press, 2002.
  • Yuri A. Kuznetsov, Elements of applied bifurcation theory.
  • Eugène Izhikevich, Dynamical systems in neuroscience: the geometry of excitability and bursting, MIT Press, 2006.
  • G. Bard Ermentrout and David H. Terman, Mathematical Foundations of Neuroscience, Springer, 2010.

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