Introduction à la théorie des grandes matrices aléatoires et en particulier à ses applications au traitement du signal et à l'apprentissage.

(La présentation des aspects méthodologiques et applicatifs est volontairement différenciée - les deux aspects seront intégrés  dans le cadre du cours)

1 - Théorie des grandes matrices aléatoires

• techniques de base: calcul matriciel gaussien, transformée de Stieltjes, inégalité de Poincaré-Nash, G-estimation.

• théorème de Marcenko-Pastur décrivant le comportement de la mesure empirique des valeurs propre d'une grande matrice de covariance empirique.
• théorème de Tracy-Widom décrivant les fluctuations de la plus grande valeur propre d'une grande matrice de covariance empirique
• Modèles spécifiques aux applications en statistiques: modèles structurés (modèle signal + bruit, à profil de variance, à matrice de population). modèles à petites perturbations (modèles spiked)

2 - Applications au traitement du signal et à l'apprentissage

• Etude des performances d'un canal multi-antennes en émission et en réception (canal MIMO, information mutuelle, capacité ergodique)

• Détection de source en grande dimension et application à la détection de spectre vide (spectrum sensing) en radio cognitive.

• Estimation des distances/puissances: application au positionnement d'utilisateurs par triangulation en télécommunications.
• Traitement d'antennes en grande dimension: estimation d'angles d'arrivée, algorithme MUSIC.
• Détection de communautés sur des grands graphes.
• Méthodes à noyau