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MATH

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Accueil > Formations > Formation Math ENS Paris-Saclay > Cours de L3 1ere année

Résumé des cours de L3 (S6)

ANALYSE COMPLEXE

  • Fonctions holomorphes sur un ouvert de C. Opérations sur les fonctions holomorphes. Relations de Cauchy-Riemann. Détermination principale du logarithme.
  • Intégrale d'une fonction le long d'un chemin de C. Indice d'un chemin par rapport à un point. Formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes sur un ouvert convexe de C. Homotopie. Formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes sur un ouvert simplement connexe de C.
  • Fonctions analytiques. Théorème de Morera. Théorème de Liouville et de d'Alembert-Gauss. Zéros des fonctions holomorphes. Principes élémentaires de prolongement analytique. Principe du maximum et méthode de Phragmen-Lindelöf. Application à l'interpolation. Topologie de H(C). Séries de fonctions holomorphes
  • Singularité isolée d'une fonction holomorphe. Fonctions méromorphes. Théorème des résidus et applications.
  • Transformations conformes, théorème de Riemann. Application à la mécanique des fluides.
  • Fonctions spéciales et applications : Fonctions gamma et zéta de Riemann et fonction p de Weierstrass.

METHODES D'APPROXIMATION DES EQUATIONS AUX DERIVEES PARTIELLES

  • RESUME : Modélisation d'un Tsunami par résolution des équations de Saint-Venant. (F. De Vuyst)
    Les progrès en analyse mathématique des EDP et la formidable puissance des ordinateurs font de la modélisation numérique un outil très puissant tant en Sciences (Physique théorique, Chimie, Mécanique, Biologie, ...) que dans l'Industrie. L'objet de ce cours est à la fois de donner les bases de la théorie de l'approximation des équations aux dérivées partielles et de former à l'utilisation pratique de ces méthodes.

  • PROGRAMME :
  1. Équations hyperboliques en une dimension. Méthode des caractéristiques, Schémas classiques aux différences finies : def, consistance, stabilité, convergence.
  2. Méthode des différences finies pour les équations de Laplace, des ondes et de la chaleur.
  3. Méthodes des éléments finis pour les équations et les systèmes elliptiques. Application à l'équation de Laplace et au système de l'élasticité.
  4. Méthode des volumes finis pour les systèmes hyperboliques de lois de conservation. Application aux équations d'Euler des fluides parfaits.

Minis cours

3 minis-cours, d'une durée de 3 semaines chacun, sont proposés:
  • Introduction aux systèmes complexes en  SHS
  • Théorie géométrique de la mesure
  • Algèbre linéaire numérique